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事実以外のものを付け加えて話を誇張することを
「尾ひれをつける」なんて言いますね。

英語ではおなじみの動詞、exaggerateがそれに
ぴったりかもしれません。

話を良い、悪いどちらの方向に膨らませることも
可能です。

また、stretchもそれに近い使い方がありますね。

stretch a point という表現は誇張するに近い意味で
用いられることがありますし、
That's stretching it a bit. という表現は
「ちょっとこじつけだなあ」くらいがピッタリだと
思いますが場面によっては「ちょっと大げさだ」という
ニュアンスになることもあります。